Konvergence: Porovnání verzí
(doplnění dalších definic a 4. zdroje a přerovnání zdrojů) |
|||
Řádek 1: | Řádek 1: | ||
+ | '''Autor:''' Martina Snížková | ||
+ | '''Klíčová slova:''' konvergence, matematika, limita | ||
+ | |||
+ | '''Synonyma:''' sbíhání, sbližování, splývání | ||
+ | |||
+ | '''Související pojmy:''' | ||
+ | |||
+ | ''nadřazené:'' matematická analýza, limita | ||
+ | |||
+ | ''podřazené:'' bodová konvergence, obor konvergence, stejnoměrná konvergence, absolutní a relativní konvergence | ||
+ | |||
+ | == Charakteristika == | ||
+ | Ve zkratce tento pojem označuje sbíhání, sbližování, splývání nebo proces k tomu vedoucí, což nám již napovídá jeho název, který pochází z latinského convergere tj. com + Vergere = ohýbat dohromady. Opakem tohoto pojmu je divergence. | ||
+ | |||
+ | Konvergence má široké využití v matematice, dále ho nalezneme také v politice. | ||
+ | |||
+ | == Konvergence v matematice == | ||
+ | V matematice je tento pojem velice rozšířený a používá se při mnoha matematických úkonech. | ||
+ | Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu. | ||
+ | |||
+ | '''Definice:''' | ||
+ | |||
+ | ''„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že '''konverguje''', a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“''[2.] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady). | ||
+ | |||
+ | ''„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“''[3, str. 43] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to: | ||
+ | *Cauchy-Bolzanovo kritérium stejnosměrné konvergence | ||
+ | *Cauchy-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí | ||
+ | *Weierstrassovo kritérium | ||
+ | *Dirichletovo a Abelovo kritérium | ||
+ | |||
+ | == Konvergence v politice == | ||
+ | |||
+ | |||
+ | == Použité zdroje == | ||
+ | 1. HARPER, Douglas. ''Online etymology dictionary'' [online]. 2001, 2010 [cit. 2011-01-01]. Dostupné z WWW: <http://www.etymonline.com/index.php?search=converg&searchmode=none>. | ||
+ | |||
+ | 2. DOŠLÁ, Zuzana ; KUBEN, Jaromír. ''Diferenciální počet funkcí jedné proměnné''. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2004. Limita posloupnosti, s. 23. Dostupné z WWW: <http://www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf>. ISBN 80-210-3121-2. | ||
+ | |||
+ | 3. DOŠLÁ, Zuzana ; NOVÁK, Vitězslav.'' Nekonečné řady''. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 1998. 120 s. ISBN 80-210-1949-2. | ||
+ | |||
+ | 4. NOVÁK, Vítězslav. ''Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné.'' Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2005. 93 s. ISBN 80-210-3850-0. |
Verze z 2. 1. 2011, 16:30
Autor: Martina Snížková
Klíčová slova: konvergence, matematika, limita
Synonyma: sbíhání, sbližování, splývání
Související pojmy:
nadřazené: matematická analýza, limita
podřazené: bodová konvergence, obor konvergence, stejnoměrná konvergence, absolutní a relativní konvergence
Charakteristika
Ve zkratce tento pojem označuje sbíhání, sbližování, splývání nebo proces k tomu vedoucí, což nám již napovídá jeho název, který pochází z latinského convergere tj. com + Vergere = ohýbat dohromady. Opakem tohoto pojmu je divergence.
Konvergence má široké využití v matematice, dále ho nalezneme také v politice.
Konvergence v matematice
V matematice je tento pojem velice rozšířený a používá se při mnoha matematických úkonech. Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu.
Definice:
„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že konverguje, a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“[2.]
Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady).
„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“[3, str. 43]
Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to:
- Cauchy-Bolzanovo kritérium stejnosměrné konvergence
- Cauchy-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí
- Weierstrassovo kritérium
- Dirichletovo a Abelovo kritérium
Konvergence v politice
Použité zdroje
1. HARPER, Douglas. Online etymology dictionary [online]. 2001, 2010 [cit. 2011-01-01]. Dostupné z WWW: <http://www.etymonline.com/index.php?search=converg&searchmode=none>.
2. DOŠLÁ, Zuzana ; KUBEN, Jaromír. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2004. Limita posloupnosti, s. 23. Dostupné z WWW: <http://www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf>. ISBN 80-210-3121-2.
3. DOŠLÁ, Zuzana ; NOVÁK, Vitězslav. Nekonečné řady. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 1998. 120 s. ISBN 80-210-1949-2.
4. NOVÁK, Vítězslav. Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2005. 93 s. ISBN 80-210-3850-0.