Konvergence

Z WikiKnihovna
Přejít na: navigace, hledání

Autor: Martina Snížková

Klíčová slova: konvergence, matematika, limita

Synonyma: sbíhání, sbližování, splývání

Související pojmy:

nadřazené: matematická analýza, limita

podřazené: stejnoměrná konvergence, absolutní a neabsolutní konvergence

Charakteristika

Ve zkratce tento pojem označuje sbíhání, sbližování, splývání nebo proces k tomu vedoucí, což nám již napovídá jeho název, který pochází z latinského convergere tj. com + Vergere = ohýbat dohromady. Opakem tohoto pojmu je divergence.

Konvergence má široké využití v matematice, dále ji nalezneme také v biologii, ekonomice a politice.

Konvergence v matematice

V matematice je tento pojem velice rozšířený a používá se při mnoha matematických úkonech. Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu.


„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že konverguje, a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“[2]

Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady).

„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“[3, str. 43]

Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to:

  • Cauchy-Bolzanovo kritérium stejnosměrné konvergence
  • Cauchy-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí
  • Weierstrassovo kritérium
  • Dirichletovo a Abelovo kritérium


Nyní už máme základní informace o konvergentní posloupnosti a stejnoměrné konvergenci, která se nalézá i v řadách. Následují tedy informace o konvergentních řadách. V konvergenci řad rozlišujeme, zda-li je konvergence absolutní nebo neabsolutní, přesná definice následuje:

„ Řekneme, že řada ∑an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∑|an|. Jestliže řada ∑an konverguje a ∑|an| diverguje, říkáme, že řada ∑an konverguje neabsolutně.“ [3, str. 25]

V řadách se používají následující kritéria konvergence:

  • pro alternující řady platí Leibnizovo kritérium konvergence
  • srovnávací kritérium
  • odmocninové kritérium, odmocninové kritérium – Cauchyovo
  • podílové kritérium, podílové kritérium – d'Alembertovo
  • Abelovo a Dirichletovo kritérium
  • Cauchy-Bolzanovo kritérium konvergence
  • limitní srovnávací kritérium
  • limitní Raabeovo kritérium
  • Integrální kritérium


Nyní, když máme nadefinovány řady, přesuneme se k dalšímu použití konvergence a to v nevlastních integrálech, opět začneme definicí a budou následovat kritéria která nám stanoví konvergenci.

„Nechť a ∈ R a nechť f je funkce definovaná na intervalu <a, ∞),která je integrovatelná na každém intervalu <a,b>, kde b ∈ R, b > a. Definujeme funkci F(t) na intervalu <a,∞) vztahem F(t) = ∫(a→t) f(x) dx. Existuje-li vlastní limita lim(t→∞) F(t), říkáme, že nevlastní integrál ∫(a→∞) f(x) dx konverguje (nebo že existuje) a klademe integrál ∫(a→∞) f(x) dx = lim(t→∞) F(t).“[4, str. 59]

Kritéria pro konvergenci nevlastních integrálů:

  • srovnávací kritérium
  • limitní srovnávací kritérium


OMLOUVÁM se za neprofesionálně zapsané definice, v současné době nefunguje funkce LaTeX (pro zapsání matematických výrazů), až se uvede do provozu, upravím. Děkuji za pochopení.

Konvergence v biologii

V biologii nalezneme konvergenci v podobě vytváření podobných znaků u živočichů, kteří nejsou ve vývojově příbuzných skupinách. To znamená, že vzniká v různých nepříbuzných vývojových liniích během nezávislého vývoje druhů, a to nejčastěji formou adaptace. Tato podobnost, která je získaná se považuje za analogickou nikoli homologickou. Konvergence se samozřejmě týká i rostlin žijících v obdobném prostředí.

Pro zajímavost:

„Extrémní konvergencí jsou tzv. paralelní linie, kdy se vzájemně podobají celé skupiny nepříbuzných organismů, například placentální savci Evropy a Asie a vačnatci v Austrálii (vlk-vakovlk, antilopa-klokan, krtek-vakokrt, veverka-vakoveverka).“[5]

Konvergence v ekonomice a politice

V tomto odvětví se konvergence promítá v procesu srovnávání různých ekonomických ukazatelů v rámci skupiny zemí. Většinou to znamená proces, kdy se méně vyspělá ekonomika snaží dohnat ekonomicky vyspělejší země.

Ekonomie skýtá i takzvanou teorii konvergence, která se zabývá postupným stíráním ekonomických, politických a ideologických rozdílů panujících mezi kapitalistickou a socialistickou společností. Tato teorie má ovšem jeden docela veliký nedostatek a tím je technokratický přístup k analýze těchto ekonomických soustav, což znamená, že ignoruje důležité rozdíly v charakteru obou politických soustav (pro níž kapitalismus a socialismus nemohou slynout).

Použité zdroje

1. HARPER, Douglas. Online etymology dictionary [online]. 2001, 2010 [cit. 2011-01-01]. Dostupné z WWW: <http://www.etymonline.com/index.php?search=converg&searchmode=none>.

2. DOŠLÁ, Zuzana ; KUBEN, Jaromír. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2004. Limita posloupnosti, s. 23. Dostupné z WWW: <http://www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf>. ISBN 80-210-3121-2.

3. DOŠLÁ, Zuzana ; NOVÁK, Vitězslav. Nekonečné řady. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 1998. 120 s. ISBN 80-210-1949-2.

4. NOVÁK, Vítězslav. Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2005. 93 s. ISBN 80-210-3850-0.

5. ABRAHÁMOVÁ, Jitka, et al. Všeobecná encyklopedie ve čtyřech svazcích : díl 2. g/l. Vyd. 1. Praha : Nakladatelský dům OP, 1996. konvergence, s. 505. ISBN 80-85841-33-9.

6. Konvergence [online]. 2000, 2006 [cit. 2011-01-02]. CoJeCo. Dostupné z WWW: <http://www.cojeco.cz/index.php?s_term=&s_lang=2&detail=1&id_desc=47476>.