Konvergence: Porovnání verzí
(přidání definice řady) |
(→Konvergence v matematice: další definice a uprava vzhledu) |
||
| Řádek 20: | Řádek 20: | ||
Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu. | Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu. | ||
| − | |||
''„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že '''konverguje''', a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“''[2.] | ''„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že '''konverguje''', a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“''[2.] | ||
| − | |||
Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady). | Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady). | ||
| − | ''„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“''[3, str. 43] | + | ''„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) '''konverguje stejnoměrně''' k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“''[3, str. 43] |
| − | |||
Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to: | Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to: | ||
| Řádek 40: | Řádek 37: | ||
V konvergenci řad rozlišujeme, zda-li je konvergence absolutní nebo neabsolutní, přesná definice následuje: | V konvergenci řad rozlišujeme, zda-li je konvergence absolutní nebo neabsolutní, přesná definice následuje: | ||
| − | ''„ Řekneme, že řada ∑an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∑|an|. Jestliže řada ∑an konverguje a ∑|an| diverguje, říkáme, že řada ∑an konverguje neabsolutně.“'' [3, str. 25] | + | ''„ Řekneme, že řada ∑an''' konverguje absolutně''', jestliže konverguje řada ∑|an|. Jestliže řada ∑an konverguje a ∑|an| diverguje, říkáme, že řada ∑an '''konverguje neabsolutně'''.“'' [3, str. 25] |
| + | |||
| + | V řadách se používají následující kritéria konvergence: | ||
| + | *pro alternující řady platí Leibnizovo kritérium konvergence | ||
| + | *srovnávací kritérium | ||
| + | *odmocninové kritérium, odmocninové kritérium – Cauchyovo | ||
| + | *podílové kritérium, podílové kritérium – d'Alembertovo | ||
| + | *Abelovo a Dirichletovo kritérium | ||
| + | *Cauchy-Bolzanovo kritérium konvergence | ||
| + | *limitní srovnávací kritérium | ||
| + | *limitní Raabeovo kritérium | ||
| + | *Integrální kritérium | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Nyní, když máme nadefinovány řady, přesuneme se k dalšímu použití konvergence a to v nevlastních integrálech, opět začneme definicí a budou následovat kritéria která nám stanoví konvergenci. | ||
| + | |||
| + | ''„Nechť a ∈ R a nechť f je funkce definovaná na intervalu <a, ∞),která je integrovatelná na každém intervalu <a,b>, kde b ∈ R, b > a. Definujeme funkci F(t) na intervalu <a,∞) vztahem F(t) = ∫(a→t) f(x) dx. Existuje-li vlastní limita lim(t→∞) F(t), říkáme, že nevlastní integrál ∫(a→∞) f(x) dx '''konverguje''' (nebo že existuje) a klademe integrál ∫(a→∞) f(x) dx = lim(t→∞) F(t).“''[4, str. 59] | ||
| + | |||
| + | Kritéria pro konvergenci nevlastních integrálů: | ||
| + | *srovnávací kritérium | ||
| + | *limitní srovnávací kritérium | ||
== Konvergence v politice == | == Konvergence v politice == | ||
Verze z 2. 1. 2011, 16:45
Autor: Martina Snížková
Klíčová slova: konvergence, matematika, limita
Synonyma: sbíhání, sbližování, splývání
Související pojmy:
nadřazené: matematická analýza, limita
podřazené: bodová konvergence, obor konvergence, stejnoměrná konvergence, absolutní a relativní konvergence
Charakteristika
Ve zkratce tento pojem označuje sbíhání, sbližování, splývání nebo proces k tomu vedoucí, což nám již napovídá jeho název, který pochází z latinského convergere tj. com + Vergere = ohýbat dohromady. Opakem tohoto pojmu je divergence.
Konvergence má široké využití v matematice, dále ho nalezneme také v politice.
Konvergence v matematice
V matematice je tento pojem velice rozšířený a používá se při mnoha matematických úkonech. Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu.
„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že konverguje, a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“[2.]
Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady).
„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“[3, str. 43]
Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to:
- Cauchy-Bolzanovo kritérium stejnosměrné konvergence
- Cauchy-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí
- Weierstrassovo kritérium
- Dirichletovo a Abelovo kritérium
Nyní už máme základní informace o konvergentní posloupnosti a stejnoměrné konvergenci která se nalézá i v řadách. Následují tedy informace o konvergentních řadách.
V konvergenci řad rozlišujeme, zda-li je konvergence absolutní nebo neabsolutní, přesná definice následuje:
„ Řekneme, že řada ∑an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∑|an|. Jestliže řada ∑an konverguje a ∑|an| diverguje, říkáme, že řada ∑an konverguje neabsolutně.“ [3, str. 25]
V řadách se používají následující kritéria konvergence:
- pro alternující řady platí Leibnizovo kritérium konvergence
- srovnávací kritérium
- odmocninové kritérium, odmocninové kritérium – Cauchyovo
- podílové kritérium, podílové kritérium – d'Alembertovo
- Abelovo a Dirichletovo kritérium
- Cauchy-Bolzanovo kritérium konvergence
- limitní srovnávací kritérium
- limitní Raabeovo kritérium
- Integrální kritérium
Nyní, když máme nadefinovány řady, přesuneme se k dalšímu použití konvergence a to v nevlastních integrálech, opět začneme definicí a budou následovat kritéria která nám stanoví konvergenci.
„Nechť a ∈ R a nechť f je funkce definovaná na intervalu <a, ∞),která je integrovatelná na každém intervalu <a,b>, kde b ∈ R, b > a. Definujeme funkci F(t) na intervalu <a,∞) vztahem F(t) = ∫(a→t) f(x) dx. Existuje-li vlastní limita lim(t→∞) F(t), říkáme, že nevlastní integrál ∫(a→∞) f(x) dx konverguje (nebo že existuje) a klademe integrál ∫(a→∞) f(x) dx = lim(t→∞) F(t).“[4, str. 59]
Kritéria pro konvergenci nevlastních integrálů:
- srovnávací kritérium
- limitní srovnávací kritérium
Konvergence v politice
Použité zdroje
1. HARPER, Douglas. Online etymology dictionary [online]. 2001, 2010 [cit. 2011-01-01]. Dostupné z WWW: <http://www.etymonline.com/index.php?search=converg&searchmode=none>.
2. DOŠLÁ, Zuzana ; KUBEN, Jaromír. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2004. Limita posloupnosti, s. 23. Dostupné z WWW: <http://www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf>. ISBN 80-210-3121-2.
3. DOŠLÁ, Zuzana ; NOVÁK, Vitězslav. Nekonečné řady. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 1998. 120 s. ISBN 80-210-1949-2.
4. NOVÁK, Vítězslav. Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2005. 93 s. ISBN 80-210-3850-0.
