Konvergence

Autor: Martina Snížková

Klíčová slova: konvergence, matematika, limita

Synonyma: sbíhání, sbližování, splývání

Související pojmy:

nadřazené: matematická analýza, limita

podřazené: bodová konvergence, obor konvergence, stejnoměrná konvergence, absolutní a relativní konvergence

Charakteristika

Ve zkratce tento pojem označuje sbíhání, sbližování, splývání nebo proces k tomu vedoucí, což nám již napovídá jeho název, který pochází z latinského convergere tj. com + Vergere = ohýbat dohromady. Opakem tohoto pojmu je divergence.

Konvergence má široké využití v matematice, dále ho nalezneme také v politice.

Konvergence v matematice

V matematice je tento pojem velice rozšířený a používá se při mnoha matematických úkonech. Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu.

Definice:

„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že konverguje, a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“[2.]

Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady).

„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“[3, str. 43]

Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to:

• Cauchy-Bolzanovo kritérium stejnosměrné konvergence
• Cauchy-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí
• Weierstrassovo kritérium
• Dirichletovo a Abelovo kritérium

Nyní už máme základní informace o konvergentní posloupnosti a stejnoměrné konvergenci která se nalézá i v řadách. Následují tedy informace o konvergentních řadách. V konvergenci řad rozlišujeme, zda-li je konvergence absolutní nebo neabsolutní, přesná definice následuje:

„ Řekneme, že řada ∑an konverguje absolutně, jestliže konverguje řada ∑|an|. Jestliže řada ∑an konverguje a ∑|an| diverguje, říkáme, že řada ∑an konverguje neabsolutně.“ [3, str. 25]

Použité zdroje

1. HARPER, Douglas. Online etymology dictionary [online]. 2001, 2010 [cit. 2011-01-01]. Dostupné z WWW: <http://www.etymonline.com/index.php?search=converg&searchmode=none>.

2. DOŠLÁ, Zuzana ; KUBEN, Jaromír. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2004. Limita posloupnosti, s. 23. Dostupné z WWW: <http://www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf>. ISBN 80-210-3121-2.

3. DOŠLÁ, Zuzana ; NOVÁK, Vitězslav. Nekonečné řady. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 1998. 120 s. ISBN 80-210-1949-2.

4. NOVÁK, Vítězslav. Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2005. 93 s. ISBN 80-210-3850-0.