|
|
| Řádek 1: |
Řádek 1: |
| − | '''Autor:''' Martina Snížková
| |
| | | | |
| − | '''Klíčová slova:''' konvergence, matematika, limita
| |
| − |
| |
| − | '''Synonyma:''' sbíhání, sbližování, splývání
| |
| − |
| |
| − | '''Související pojmy:'''
| |
| − |
| |
| − | ''nadřazené:'' matematická analýza, limita
| |
| − |
| |
| − | ''podřazené:'' bodová konvergence, obor konvergence, stejnoměrná konvergence, absolutní a relativní konvergence
| |
| − |
| |
| − | == Charakteristika ==
| |
| − | Ve zkratce tento pojem označuje sbíhání, sbližování, splývání nebo proces k tomu vedoucí, což nám již napovídá jeho název, který pochází z latinského convergere tj. com + Vergere = ohýbat dohromady. Opakem tohoto pojmu je divergence.
| |
| − |
| |
| − | Konvergence má široké využití v matematice, dále ho nalezneme také v politice.
| |
| − |
| |
| − | == Konvergence v matematice ==
| |
| − | V matematice je tento pojem velice rozšířený a používá se při mnoha matematických úkonech.
| |
| − | Konkrétně se konvergence uplatňuje v posloupnostech, nekonečných číselných řadách, řadách funkcí, mocninných řadách a nevlastních integrálech. Především ovšem nesmíme zapomenout na limitu, která s tímto pojmem úzce souvisí, proto pokud chceme přesně definovat konvergentní posloupnost, musíme v definici užít i limitu.
| |
| − |
| |
| − | '''Definice:'''
| |
| − |
| |
| − | ''„Nechť je dána posloupnost {an} a číslo A ∈ R. Řekneme, že posloupnost {an} má limitu A, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé n ≥ n0 platí, že |an − a| < ε. Pomocí kvantifikátorů lze psát: ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ N tak, že ∀n ≥ n0 platí |an − A| < ε. Pokud má posloupnost {an} limitu, říkáme, že '''konverguje''', a značíme lim(n→∞) an = A, případně an → A pro n → ∞.“''[2.]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Nyní, když máme definovanou konvergentní posloupnost můžeme pokračovat dále a definovat stejnoměrnou konvergenci, která nám napomáhá s řešením jedné se základních otázek nalézajících se v teorii posloupností a řad funkcí. Tím je myšlen problém přenositelnosti vlastností členů posloupnosti na limitní funkci (či součet řady).
| |
| − |
| |
| − | ''„Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}(n=1→ ∞) konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) - f(x)| < ε.“''[3, str. 43]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Dále nesmíme zapomenout na kritéria pro vyšetření stejnoměrné konvergence, jsou to:
| |
| − | *Cauchy-Bolzanovo kritérium stejnosměrné konvergence
| |
| − | *Cauchy-Bolzanovo kritérium pro řady funkcí
| |
| − | *Weierstrassovo kritérium
| |
| − | *Dirichletovo a Abelovo kritérium
| |
| − |
| |
| − | == Konvergence v politice ==
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | == Použité zdroje ==
| |
| − | 1. HARPER, Douglas. ''Online etymology dictionary'' [online]. 2001, 2010 [cit. 2011-01-01]. Dostupné z WWW: <http://www.etymonline.com/index.php?search=converg&searchmode=none>.
| |
| − |
| |
| − | 2. DOŠLÁ, Zuzana ; KUBEN, Jaromír. ''Diferenciální počet funkcí jedné proměnné''. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 2004. Limita posloupnosti, s. 23. Dostupné z WWW: <http://www.math.muni.cz/~dosla/download/skript.pdf>. ISBN 80-210-3121-2.
| |
| − |
| |
| − | 3. DOŠLÁ, Zuzana ; NOVÁK, Vitězslav.'' Nekonečné řady''. Vyd. 1. Brno : Masarykova univerzita, 1998. 120 s. ISBN 80-210-1949-2.
| |
