Monty Hallův problém

Autor: Foral Jakub

Klíčová slova: Monty Hall, šance, pravděpodobnost

související pojmy: Teorie her

nadřazené - Matematický problém

podřazené - volba dveří, rozhodnutí, problém

Charakteristika

Monty Hallův problém, také známý jako Monty Hallův paradox, problém 3 dveří a nebo problém auta a koz. Problém byl poprvé představen biostatistikem Stevem Selvinem v roce 1975.

Problém byl však pojmenován podle Monty Halla, moderátora televizní herní show, která přímo vychází ze zkoumaného problému. V této show jde o to, že soutěžící má na výběr ze 3 dveří, za jedněmi je auto, které chce soutěžící vyhrát, zatímco za zbývajícími dveřmi je koza. Soutěžící neví za kterými je auto, a tak mu nezbývá nic jiného než si vybrat dveře náhodně. Poté co si soutěžící zvolí své dveře, však do hry vstoupí moderátor, který přesně ví kde je auto a kde jsou kozy a otevře jiné dveře, než ty které si soutěžící vybral a odhalí kozu. Soutěžícímu je posléze nabídnuta možnost, zůstat při své původní volbě a nebo své rozhodnutí změnit a vybrat si zbývající dveře.

Monty Hallův problém je tedy rozhodnutí, jestli své rozhodnutí změníte nebo zůstanete u původního.

Instinktivní, ale nesprávné rozhodnutí u téměř všech začátečníků tohoto problému je, že zůstanou u své původní volby, protože je podle nich pravděpodobnost na výhru stejná, ať už rozhodnutí změní nebo si ponechají původní. Vždyť tam zbyly pouhé dvoje dveře, takže šance na výhru je 50 na 50.

Správná odpověď na tento problém je provést změnu dveří. Pokud nezměníme dveře, tak máte šanci 1/3 na výhru auta, přitom nezáleží jestli jsme si původně vybrali správné dveře, Monty nám ukáže jedny ze zbývajících dveří s kozou. Ale jakmile nám Monty odstranil jedny dveře, tak se naše šance na výhru očividně nezvedly a stále to je 1/3, když se budeme držet našich původních dveří.

Pokud však změnu provedeme, zvýšíme tak naše šance na výhru na 2/3 (i když se to na první pohled nemusí zdát).

Lidé však často poukazují na to, že při určování pravděpodobnosti nemusíme brát zřetel na minulost. Tudíž ignorujeme prvotní volbu i moderátorovu reakci, protože máme na výběr pouze ze dvou dveří, mnoha řešitelům tak každý neuron v jejich mozku řekne, že pravděpodobnost výhry je padesát na padesát. To jak se lidé rozhodují a podle jakých pohnutek, zkoumá psychologický směr behaviorismus a vývojová psychologie.

Možnosti

1) Zvolíme si původně dveře s kozou č.1. Moderátor otevře dveře se zbývající kozou.

2) Zvolíme si původně dveře s kozou č.2. Moderátor otevře dveře se zbývající kozou.

3) Zvolíme si původně dveře s autem. Moderátor otevře dveře s kozou č.1 nebo č.2

Zde můžeme názorně vidět, že pokud provedeme změnu, tak vyhrajeme auto v prvních dvou případech(šance 2/3). Pokud si ponecháme naši původní možnost, tak vyhrajme pouze ve třetím případě(šance 1/3).

Mystifikace je zbraní moderátora a soutěžící se tak nemusí dozvědět o pravidlech. Potom je soutěžící překvapen otevřením jedněch dveří a nabídkou volby. Soutěžící je pak často zmaten a neví jestli mu moderátor nenabízí možnost volby jenom proto, že se napoprvé trefil do správných dveří. Je proto nutné, aby se soutěžící mohl objektivně rozhodnout, musí znát pravidla předem. Vyskytly se spekulace, že jedním z důvodů neintuitivnosti Monty Hallova problému je to, že v podobných situacích očekáváme podvod. Pokud je moderátor podvodník a otevře dveře pouze pokud soutěžící původně zvolil správně, pak by po otevření dveří soutěžící neměl nikdy měnit své rozhodnutí.

Vysvětlení

Správné řešení Monty Hallova problému si můžeme lépe vysvětlit na příkladu s více dveřmi, protože pouze u tří to není natolik zjevné.

Rozšíříme si počet dveří rovnou na 100. Opět máme za úkol vybrat pouze jedny dveře a pouze za jedněmi dveřmi se nachází auto. V této situaci je pravděpodobnost, že soutěžící uspěje pouze 1/100. Po vybrání dveří vstoupí do hry moderátor a odkryje 98 dveří ze zbývajících 99 dveří. Moderátor znovu odkryje pouze ty nevyhrávající dveře, za kterými se nachází koza, aby jsme to viděli. Opět se nás zeptá jestli chceme zůstat u původní volby, nebo jestli provedeme změnu.

Oproti původní verzi se třemi dveřmi zde můžeme pozorovat značný rozdíl v pravděpodobnosti. Šance, že bysme si na poprvé vybrali správné dveře je 1/100, což je velice malá pravděpodobnost, proto je výhodné rozhodnutí změnit (řešení úlohy se tím tak neredukovalo pouze na volbu 50:50). Když se znovu vrátíme k problému se 3 dveřmi, už by nám mělo být řešení jasnější.

Použitá literatura

BOGOMOLNY, Alexander. Monty Hall Dilema. [online]. 2014 [cit. 2014-05-30]. Dostupné z: http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml

Weisstein, Eric W. Monty Hall Problem. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. <http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html>

GILL, D. Richard. The Monty Hall Problem. [online]. 2011 [cit. 2014-06-02]. Dostupné z: http://www.math.leidenuniv.nl/~gill/mhp-statprob.pdf