Matice

Autor: Petr Věžník

Klíčová slova: matice, matematika, operace

Synonyma: ---

Související pojmy:

nadřazené - lineární algebra

podřazené - řádek, sloupec, prvek matice, maticový počet

Popis matice

Matice je jedním ze základních prvků lineární algebry. „Maticí typu m*n rozumíme tabulku (schéma) obdelníkového tvaru s m řádky a n sloupci (m,n jsou přirozené čísla)“. Každá matice se potom skládá z prvků (elementů matice, většinou čísel), které indexujeme pomocí jejich umístění na řádku a sloupci v matici (viz obrázek). Například prvek nacházejíci se ve druhém řádku a třetím sloupci, zapíšeme jako a₂₃. Hlavní diagonálu matice tvoří prvky a₁₁,a₂₂,a₃₃,atd, vedlejší diagonály tvoří prvky a_1n,a_2,n-1,a_3,n-2,atd. Matice jsou si rovny, jestliže jsou si rovny všechny prvky o shodných souřadnicích (a_mn = b_mn).

Druhy matic

Krom klasických matic existují i speciální matice (splňující určité podmínky), které mají své vlastní názvy:

• Matici o stejném počtu řádků a sloupců (m=n) označujeme jako čtvercovou matici.
  
• Čtvercová matice, jejíž všechny prvky ležící mimo hlavní diagonálu se rovnají nule, se nazývá diagonální maticí.
  
• Diagonální matice, jejíž všechny prvky hlavní diagonály jsou stejné, se nazývá skalární matice.
  
• Skalární matice, jejíž všechny prvky hlavní diagonály jsou rovné 1, se nazývá jednotková matice.
  
• Matici, která má pod hlavní diagonálou samé nuly, nazýváme horní trojúhelníkovou maticí. Naopak matici, které má samé nuly nad hlavní diagonálou, nazýváme dolní trojúhelníkovou maticí.
  
• Matici, která je tvořena pouze jedním řádkem, nazýváme řádkovou maticí.
  
• Matici, která je tvořena pouze jedním sloupcem, nazýváme sloupcovou maticí.
  
• Matice, která má všechny prvky rovné nule, se označuje jako nulová matice.
  
• Pokud v matici A zaměníme řádky a sloupce, budeme tuto matici nazývat transponovanou maticí k matici A.

Operace

Mezi základní matematické operace, které můžeme provádět nad maticemi, patří sčítání matic, násobení matice číslem a násobení matic navzájem.

Sčítat lze pouze matice, které mají stejný počet řádků a sloupců. Výsledná matice bude mít každé pozici součet čísel na stejných pozicích předcházejících matic.
Pokud A+B=C, pak platí a_mn+b_mn=c_mn

Násobení matic číslem je jednoduchá intuitivní operace, kdy vezmeme jedno číslo a vynásobíme jím každý prvek matice.
x*A=x*a_mn

Při násobení matic navzájem je nutné, aby počet sloupců první matice byl roven počtu řádků druhé matice. Násobíme řádek*sloupec, vždy první prvek daného řádku řádku matice*první prvek daného sloupce matice + druhý prvek daného řádku matice*druhý prvek daného sloupce, atd. Tímto součtem dostaneme jeden prvek matice, stejným postupek na všech řádcích a sloupcích pak celou výslednou matici.

Důsledky plynoucí z předchozích definic základních operací s maticemi se dají stručně vystihnout takto: „Celá řada pravidel, která platí pro počítání s komplexním čísly, platí formálně stejně pro počítání s maticemi. Jde zvláště o následující pravidla: komutativní a asociativní zákon pro sčítání matic, komutativní, asociativní a distributivní zákon pro násobení matice číslem a asociativní a distributivní zákon zákon pro násobení matic.“

Využití

Matice využíváme jak v matematice, tak i v dalších vědách. Poskytují nám efektivní metodu, jak zjednodušeně vyjádřit zápis číselného tělesa, rozložit jej do řádků a sloupců, a dál s ním pracovat. V matematice je nejčastější využití matic při výpočtu soustav lineárních rovnic, případně v teorii grafů. Další využití můžeme najít v počítačové vědě (grafika), případně kryptografii (šifrování a dešifrování zpráv).

Použitá literatura

• BORŮVKA, Otakar: Matice. [Skripta. 3. doplněné vydání]. (Czech). Vyškov na Moravě: Vyšší vojenské učiliště hrdiny SSSR kapitána Otakara Jaroše, 1966. 113 s.
• ŠALÁT, Tibor et al. Malá encyklopédia matematiky. Bratislava: Obzor, 1967, 692 s. ISBN 65-083-67.