Monty Hallův problém

Autor: Foral Jakub

Klíčová slova: Monty Hall, šance, pravděpodobnost

související pojmy: Teorie her

nadřazené - Matematický problém

podřazené - volba dveří, rozhodnutí, problém

Charakteristika

Monty Hallův problém, také známý jako Monty Hallův paradox, problém 3 dveří a nebo problém auta a koz. Problém byl poprvé představen biostatistikem Stevem Selvinem v roce 1975.

Problém byl však pojmenován podle Monty Halla, moderátora televizní herní show, která přímo vychází ze zkoumaného problému. V této show jde o to, že soutěžící má na výběr ze 3 dveří, za jedněmi je auto, které chce soutěžící vyhrát, zatímco za zbývajícími dveřmi je koza. Soutěžící neví za kterými je auto, a tak mu nezbývá nic jiného než si vybrat dveře náhodně. Poté co si soutěžící zvolí své dveře, však do hry vstoupí moderátor, který přesně ví kde je auto a kde jsou kozy a otevře jiné dveře, než ty které si soutěžící vybral a odhalí kozu. Soutěžícímu je posléze nabídnuta možnost, zůstat při své původní volbě a nebo své rozhodnutí změnit a vybrat si zbývající dveře.

Monty Hallův problém je tedy rozhodnutí, jestli své rozhodnutí změnit a nebo zůstat u původního.

Instinktivní, ale nesprávné rozhodnutí u téměř všech řešitelů tohoto problému je, že zůstanou u své původní volby, protože je podle nich pravděpodobnost na výhru stejná, ať už rozhodnutí změní nebo si ponechají původní. Nejčastějším argumentem, který řešitelé uvádějí je poukázání na fakt, že tam zbyly pouhé dvoje dveře, takže šance na výhru je 50 na 50.

Správná odpověď na tento problém je provést změnu dveří. Pokud změna neproběhne, tak šance na výhru auta zůstává na 1/3, přitom nezáleží jestli byly původně vybrány správné dveře, Moderátor ukáže jedny ze zbývajících dveří s kozou. Ale jakmile Moderátor odstranil jedny dveře, tak se šance na výhru očividně nezvedly a stále to je 1/3, když volba zůstane u původních dveří.

Pokud však změnu provedeme, zvýšíme tak naše šance na výhru na 2/3 (i když se to na první pohled nemusí zdát).

Lidé však často poukazují na to, že při určování pravděpodobnosti nemusíme brát zřetel na minulost. Tudíž ignorujeme prvotní volbu i moderátorovu reakci, protože máme na výběr pouze ze dvou dveří, mnoha řešitelům tak každý neuron v jejich mozku řekne, že pravděpodobnost výhry je padesát na padesát. To jak se lidé rozhodují a podle jakých pohnutek, zkoumá psychologický směr behaviorismus a vývojová psychologie.

Možnosti

Zde si uvedeme, jaké máme v tomto problému možnosti řešení při výběru u všech 3 dveří:

1) Volba dveří s kozou č.1. Moderátor otevře dveře se zbývající kozou.

2) Volba dveří s kozou č.2. Moderátor otevře dveře se zbývající kozou.

3) Volba dveří s autem. Moderátor otevře dveře s kozou č.1 nebo č.2

Po prozkoumání všech možností vyplývá, že pokud je provedena změna původního rozhodnutí, tak dojde k výhře auta v prvních dvou případech (šance na výhru je tedy 2/3). Pokud změna rozhodnutí neproběhne, tak výhra nastane pouze ve třetím případě (šance na výhru je tedy 1/3).

Mystifikace je zbraní moderátora a soutěžící se tak nemusí dozvědět o pravidlech. Potom je soutěžící překvapen otevřením jedněch dveří a nabídkou volby. Soutěžící je pak často zmaten a neví jestli mu moderátor nenabízí možnost volby jenom proto, že se napoprvé trefil do správných dveří. Je proto nutné, aby se soutěžící mohl objektivně rozhodnout, musí znát pravidla předem. Vyskytly se spekulace, že jedním z důvodů neintuitivnosti Monty Hallova problému je to, že v podobných situacích očekáváme podvod. Pokud je moderátor podvodník a otevře dveře pouze pokud soutěžící původně zvolil správně, pak by po otevření dveří soutěžící neměl nikdy měnit své rozhodnutí.

Vysvětlení

Aby došlo k úplnému pochopení správnosti tohoto řešení, musí být pozměněn jeden aspekt tohoto problému. Místo problému 3 dveří, se naskytne k řešení 100 dveřový problém: 99 koz a stále jedno auto. Soutěžící si vybere 1 ze 100 dveří. Moderátor opět zná umístění všech koz i auta, a tak otevře ze zbývajících 99 dveří, 98 dveří, které obsahují kozu.

U 100 dveřového problému je tedy pravděpodobnost, že soutěžící uspěje pouze 1/100, pokud si ponechá svoji původní volbu. Je tedy zřejmé, že je výhodnější své rozhodnutí změnit.

Použitá literatura

BOGOMOLNY, Alexander. Monty Hall Dilema. [online]. 2014 [cit. 2014-05-30]. Dostupné z: http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml

Weisstein, Eric W. Monty Hall Problem. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. <http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html>

GILL, D. Richard. The Monty Hall Problem. [online]. 2011 [cit. 2014-06-02]. Dostupné z: http://www.math.leidenuniv.nl/~gill/mhp-statprob.pdf