Monty Hallův problém

Autor: Foral Jakub

Klíčová slova: Monty Hall, Teorie her

související pojmy: šance, pravděpodobnost

nadřazené - Matematický problém

podřazené - volba dveří, rozhodnutí, problém

Charakteristika

Monty Hallův problém je pojemenován podle moderátora Montyho Halla, který uvádí televizní show "Let's Make a Deal". Je to strategická hra, jejíž problém začíná následovně: Předpokládejme, že místnost je vybavena třemi dveřmi. Za jedněmi dveřmi je nablýskané auto a za zbývajícími je koza. Jako soutěžící máte za úkol si vybrat jakékoliv dveře, bez toho abyste věděli, co se za kterými dveřmi nachází. Potom co si některé dveře vyberete, avšak moderátor, před odkrytím našich dveří, odkryje jedny ze zbývajících dveří, za kterými se nachází koza (nevyhrávající dveře). A vy máte na výběr, buď zůstat u svého původního výběru a nebo si vybrat druhé zavřené dveře.

Monty Hallův problém je tedy rozhodnutí, jestli své rozhodnutí změníte nebo zůstanete u původního.

Správná odpověď na tento problém je provést změnu dveří. Pokud nezměníme dveře, tak máme šanci 1/3 na výhru auta, přitom nezáleží jestli jsme si původně vybrali správné dveře, Monty nám ukáže jedny ze zbývajících dveří s kozou. Ale jakmile nám Monty odstranil jedny dveře, tak se naše šance na výhru očividně nezvedly a stále to je 1/3, když se budeme držet našich původních dveří.

Pokud však změnu provedeme, zvýšíme tak naše šance na výhru na 2/3 (ač se to tak zprvu nemusí zdát).

Nejčastěji lidé poukazují na to, že při určování pravděpodobnosti můžeme zanedbat minulost. Tudíž zanedbáme prvotní volbu i moderátorovu reakci, protože na výběr zbývají dvoje dveře, mnoho řešitelů tak dojde k závěru, že pravděpodobnost výhry je padesát na padesát.

Možnosti

1) Zvolíme si původně dveře s kozou č.1. Moderátor otevře dveře se zbývající kozou.

2) Zvolíme si původně dveře s kozou č.2. Moderátor otevře dveře se zbývající kozou.

3) Zvolíme si původně dveře s autem. Moderátor otevře dveře s kozou č.1 nebo č.2

Zde můžeme názorně vidět, že pokud provedeme změnu, tak vyhrajeme auto v prvních dvou případech(šance 2/3). Pokud si ponecháme naši původní možnost, tak vyhrajme pouze ve třetím případě(šance 1/3).

Mystifikace je zbraní moderátora a soutěžící se tak nemusí dozvědět o pravidlech. Potom je soutěžící překvapen otevřením jedněch dveří a nabídkou volby. Soutěžící je pak často zmaten a neví jestli mu moderátor nenabízí možnost volby jenom proto, že se napoprvé trefil do správných dveří. Je proto nutné, aby se soutěžící mohl objektivně rozhodnout, musí znát pravidla předem. Vyskytly se spekulace, že jedním z důvodů neintuitivnosti Monty Hallova problému je to, že v podobných situacích očekáváme podvod. Pokud je moderátor podvodník a otevře dveře pouze pokud soutěžící původně zvolil správně, pak by po otevření dveří soutěžící neměl nikdy měnit své rozhodnutí.

Vysvětlení

Správné řešení Monty Hallova problému si můžeme lépe vysvětlit na příkladu s více dveřmi, protože pouze u tří to není natolik zjevné.

Zkusme si rozšířit počet dveří rovnou na 100. Opět si máme za úkol vybrat pouze jedny dveře a pouze za jedněmi dveřmi se nachází auto. pravděpodobnost, že soutěžící uspěje je pouze 1/100. Po vybrání dveří vstoupí do hry moderátor a odkryje 98 dveří ze zbývajících 99 dveří. Moderátor znovu odkryje pouze ty nevyhrávající dveře, za kterými se nachází koza, aby jsme to viděli. Opět se nás zeptá jestli chceme zůstat u původní volby, nebo jestli provedeme změnu.

Oproti původní verzi se třemi dveřmi zde můžeme pozorovat značný rozdíl v pravděpodobnosti. Šance, že bysme si na poprvé vybrali správné dveře je 1/100, což je velice malá pravděpodobnost, proto je výhodné rozhodnutí změnit (řešení úlohy se tím tak neredukovalo pouze na volbu 50:50). Když se znovu vrátíme k problému se 3 dveřmi, už by nám mělo být řešení jasnější.

Použitá literatura

Problém Montyho Halla. [online]. 2009, 4.červen 2009 [cit. 2014-05-30]. Dostupné z: http://fyzmatik.pise.cz/911-problem-montyho-halla.html

BOGOMOLNY, Alexander. Monty Hall Dilema. [online]. 2014 [cit. 2014-05-30]. Dostupné z: http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml

Weisstein, Eric W. Monty Hall Problem. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. <http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html>

PAVELKA, Jindřich. Monty Hall Dilema. [online]. 2014 [cit. 2014-05-30]. Dostupné z: http://www.hazardni-hry.eu/pravdepodobnost/problem-tri-dveri.html