Russelův paradox

Z WikiKnihovna
Verze z 16. 8. 2013, 14:05, kterou vytvořil JanaLanova (diskuse | příspěvky)
(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání

Autor: Radovan Bartošek (383392)

Klíčová slova: paradox, logika, teorie množin

Synonyma: ---

Související pojmy: informace, logika

nadřazené Bertrand Russell
podřazené - ---

Paradox a jeho význam

Termín „paradox“ etymologicky vychází z řeckých termínů para (παρά; proti) a doxa (δόξα; mínění), doslova tedy „proti mínění“. Paradox (nebo také antinomie, aporie, insolubilia ad.) je tedy nejobecněji definován jako úvaha, která vede ke sporu. Paradoxy lze rozdělit na sémantické a logické[1], ovšem jejich dělení a kategorizace není ustáleno a kodifikováno (Raclavský mluví například o paradoxech matematických, logických, paradoxech množin, které prostupují pole působnosti obou předchozích, dále o sémantických a epistemologických paradoxech[2]). Russelův paradox patří mezi logické paradoxy.

Logické paradoxy představují nástroj, pomocí kterého můžeme odhalovat chyby v explikacích pojmů běžného jazyka, upozorňovat na jejich formální nesprávnost, což následně může vést k formulaci jiné, adekvátní explikace.

Teorie tříd

Russell se na přelomu 19. a 20. století zaobíral vztahem mezi výrazem a jeho denotátem. Do té doby převládalo chápání pojmu významu, které předpokládalo, že každému smysluplnému gramatickému subjektu musí odpovídat jeho denotát, který je dán jménem subjektu (podle teorie J. S. Milla je každé slovo jménem a jeho významem je právě toto jméno). Pokud je význam slova dán jeho jménem, znamená to, že pokud je slovo smysluplné, musí denotovat nějakou reálně existující entitu (to platí například i o termínech jako kentaur, spravedlnost, ad.).[3] Například slovo „pes“ by mělo význam všech psů, nebo vlastností, které zakládají „psovitost“. V případě sloves či předložek by vznikaly entity ještě podivnější.

Řešením této situace se zdálo být zavedení teorie množin, spojené s matematikem Georgem Cantorem, která stála v základech teorie tříd. Pojem „pes“ zde přestává být samostatně existující entitou, které může být připsána pravdivost či nepravdivost. Místo toho se z něj stává pojmenování pro třídu (množinu), která může obsahovat prvky, které splňují podmínky pro zařazení do této třídy. V případě pojmů jako je například „kentaur“, je tato množina prázdná.

Russellův paradox

První paradox plynoucí z teorie množin objevil již sám Cantor: „Pokud máme zcela všech věcí (individuí, množin, atd.), každá množina o n prvcích má přesně 2n podmnožin (Cantorův teorém), takže množina všech věcí má n prvků, což by ale mělo být zároveň rovno 2n − to je ale vyloučeno.“[4] Russell se řešením Cantorova paradoxu začal intenzivně zaobírat.

Výsledkem byla formulace Russellova paradoxu: „Uvažujme množinu všech množin, co neobsahují samy sebe (někdy se píše: normální množiny), obsahuje tato množina sama sebe? Známý rezultát: právě tehdy, když nikoli a nikoli tehdy, když ano.“[5]

Formálně: S = {X|X ∉ X}, kde S je množina všech množin, které nejsou svým vlastním prvkem. O libovolné množině M lze rozhodnout, zda je či není prvkem S, toto však nelze rozhodnout o samotné množině S.

Snaha o řešení paradoxu

Samotný Russell pokusil paradox řešit zavedením teorie typů. Jako první hovoří o jednoduché teorii typů: Protože aplikace funkce na objekt může být nedostatečná, zavádí typ. Typ je, jednoduše řečeno, okruh těch objektů, pro které je daná funkce signifikantní.

Na toto řešení reaguje H. Poincaré formulování, principu bludného kruhu: „Cokoli, co definuje nějaký 'totál', není samo prvkem tohoto 'totálu'.“[6] V případě Russella to znamená, že žádná definice nesmí být prvkem definovaného „totálu“; jak Russell dodává, to, co obsahuje proměnnou, nesmí být samo v oboru proměnné obsaženo.[7] Proměnné obsahují propoziční funkce, které nejsou individuovány pouze extenzionálně, ale většinou jsou intenzionální.[8] Tímto krokem se Russell nicméně oddělil od matematického vývoje, který nadále připouštěl pouze funkce, které jsou individuované extenzionálně (to znamená: pokud mají funkce f a m shodné hodnoty argumentů, jsou identické).[9]

Princip bludného kruhu nakonec Russella vedl k formulování rozvětvené teorie typů, ve které nulový základ tvoří individua, prvořádovými objekty jsou propozice a propoziční funkce, které se vypovídají „o individuích“. Druhořádové objekty operují na objektech prvořádových, atd.[10] Například paradox lháře („Já teď lžu“) tak vlasatně tvrdí druhořádovou propozici, která se vyjadřuje k prvořádové propozici a říká, že neexistuje prvořádová propozice, kterou tvrdím a která je pravdivá. V rozvětvené teorii typů je tak vlastně kruhovitost argumentu jen domnělá.

Rozvětvená teorie typů obecně přijata nebyla, především v matematice totiž její přijetí působí řadu problémů. Ve filozofii a logice byly jednoduchá a rozvětvená teorie typů přijaty lépe a inspirovaly některé autory k formulování vlastních teorií typů (např. Ramsey, Church či Tichý).

Reference

  1. HORYNA, B., et al. Filosofický slovník. 2. vydání. Olomouc: Nakladatelství Olomouc, 2002. 463 s. ISBN 80-7182-064-4. s. 307.
  2. RACLAVSKÝ, J. Pravda a paradox: úvod do problematiky. [online]. 2008. [cit. 15. 5. 2013]. Dostupné z: http://www.phil.muni.cz/~raclavsky/texts.php?p=cz.
  3. RYLE, G. Teória významu. In:Filozofia prirodzeného jazyka: štúdie, prednášky, eseje. Edited by Marianna Oravcová. 1. vyd. Bratislava: Archa, 1992. 264 s. ISBN 80-7115-044-4. s. 108.
  4. Viz RACLAVSKÝ, J. Pravda a paradox: úvod do problematiky. [online]. 2008. [cit. 15. 5. 2013]. Dostupné z: http://www.phil.muni.cz/~raclavsky/texts.php?p=cz.
  5. Tamtéž.
  6. Tamtéž.
  7. Tamtéž.
  8. Tamtéž.
  9. Tamtéž.
  10. Tamtéž.

Literatura

1) HORYNA, B., et al. Filosofický slovník. 2. vydání. Olomouc: Nakladatelství Olomouc, 2002. 463 s. ISBN 80-7182-064-4.

2)RACLAVSKÝ, J. Pravda a paradox: úvod do problematiky. [online]. 2008. [cit. 15. 5. 2013]. Dostupné z: http://www.phil.muni.cz/~raclavsky/texts.php?p=cz.

3) RYLE, G. Teória významu. In:Filozofia prirodzeného jazyka: štúdie, prednášky, eseje. Edited by Marianna Oravcová. 1. vyd. Bratislava: Archa, 1992. 264 s. ISBN 80-7115-044-4.