Pravděpodobnost

Z WikiKnihovna
Přejít na: navigace, hledání

Autor: Denisa Karpeová

Klíčová slova: matematika, statistika, náhodný jev,

Synonyma:

Související pojmy:

nadřazené – matematika , statistika
podřazené - geometrická pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost, klasická pravděpodobnost


Charakteristika

Pravděpodobnost je úzce spjatá se statistikou. Pravděpodobnost je metoda, kterou můžeme spočítat kolikrát se nám vyskytne určitý jev. Teorie pravděpodobnosti je závislá na náhodných pokusech a náhodných jevech. Pravděpodobnost se značí písmenem P a udává se v procentech nebo též jako číslo z intervalu <0,1>. Výpočet pravděpodobnosti se učí už na středních školách. Používá se jak ve soukromých firmách tak ve státních institucích.

Náhodný pokus

Náhodný pokus je proces, který je opakovatelný a závislý na náhodě. Příklad náhodného pokusu může být hrací ruleta, táhání čísel otázek u maturity nebo také sázení sportky. U náhodného pokusu musíme znát množinu všech možných výsledků, které mohou vyjít. Množina všech možných výsledků se značí ω omega. Nejzákladnější příklad uváděný ve školách je hrací kostka. Na kostce mohou padnou pouze čísla od jedné do šesti, proto množina náhodných pokusů by byla ω = 1,2,3,4,5,6.

Náhodný jev

Náhodný jev je jakékoli tvrzení o výsledku, o kterém lze po uskutečnění pokusu rozhodnout, zda je či není pravdivé.[1] Jsou dva druhy náhodných jevů. Nemožný jev je jev, který nemůže nikdy nastat. Například, že ve sportce nepadnou čísla, ale písmena, zatímco jev jistý nastává vždy. Na hrací kostce vždy padne číslo menší než sedm.

Vlastnosti

1) Pravděpodobnost náhodného jevu nabývá hodnot mezi jedničkou a nulou. Jedničku přiřazujeme ( P(a) =1 (pravděpodobnost jevu A se rovná jedna)), když je jev „jistý“, což znamená, že jev A nastává vždy, naopak nulu přiřazujeme když je jev nemožný, tudíž nemůže nastat.( P(a) =0 )

2) Když se pravděpodobnost jen nepatrně liší od nuly, je prakticky jisté, že při jediném pokusu jev A nenastane. [2]

3) Když se pravděpodobnost jen nepatrně liší od jedné, je prakticky jisté, že při jediném pokusu jev A nastane.[3]

4) Množina všech možných výsledků ω je vždy konečná. Tzn. Že nemůže mít nekonečně mnoho výsledků.

5) Vždy padne pouze jeden výsledek, nemůžou padnout dva výsledky najednou.

Ukázkový příklad

Zadání: Vypočítejte jaká je pravděpodobnost, aby při házení hrací kostkou padlo sudé číslo.

Pravděpodobnost jevu A, neboli sudého čísla- P(A)

Množina všech výsledků – ω

Pravděpodobnost hodu sudého čísla vypočítáme, když počet příznivých výsledků vydělíme počtem všech možných výsledků.

P(A) = |2,4,6|/|1,2,3,4,5,6| = 3/6 = 0,5

Výsledek stačí vynásobit stem a výsledek je v procentech.

Pravděpodobnost, že na kostce padne sudé číslo je 50%.

Dělení pravděpodobnosti

Klasická pravděpodobnost

Nechť je dáno n elementárních jevů E1, E2, ..., En, které tvoří úplný systém neslučitelných jevů a jsou stejně možné. Rozkládá-li se jev A na m (mn) elementárních jevů z tohoto systému, pak pravděpodobnost jevu A je reálné číslo P(A) = m/n.[4]

Geometrická pravděpodobnost

Ppoužíváme ji v případech, které lze převést na toto schéma:
V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A.
Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je:
P(A) = |A|/|Ω|, kde |A|, |Ω| jsou míry oblastí A a Ω.[5]

Podmíněná pravděpodobnost

Pravděpodobnost uskutečnění jevu A za předpokladu, že nastal jev B, se zapisuje P(A/B) a nazývá se podmíněná pravděpodobnost. Je rovna: P(A/B) = P(A.B)/ P(B).[6]

Poznámky

  1. . HAVRLANT, Lukáš. Matematika.cz. VYDAVATELSTVÍ NOVÁ MÉDIA, s. r. o. [online]. Bašty 413/2, 602 00 Brno-město [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://www.matematika.cz/pravdepodobnost.
  2. . OTIPKA, Petr a ŠMAJSTRLA. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA. [online]. Operační program Rozvoje lidských zdrojů. [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/
    </div> .
  3. . OTIPKA, Petr a ŠMAJSTRLA. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA. [online]. Operační program Rozvoje lidských zdrojů. [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/
    </div> .
  4. . NAVARA, Mirko. Pravděpodobnost a matematická statistika. In: [online]. Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a: Centrum strojového vnímán í katedra kybernetiky FEL ČVUT, 6.10. 2010 [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/MVT/MVT_print.pdf.
  5. . NAVARA, Mirko. Pravděpodobnost a matematická statistika. In: [online]. Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a: Centrum strojového vnímán í katedra kybernetiky FEL ČVUT, 6.10. 2010 [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/MVT/MVT_print.pdf.
  6. . NAVARA, Mirko. Pravděpodobnost a matematická statistika. In: [online]. Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a: Centrum strojového vnímán í katedra kybernetiky FEL ČVUT, 6.10. 2010 [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/MVT/MVT_print.pdf.

Použitá literatura

  • HAVRLANT, Lukáš. Matematika.cz. VYDAVATELSTVÍ NOVÁ MÉDIA, s. r. o. [online]. Bašty 413/2, 602 00 Brno-město [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://www.matematika.cz/pravdepodobnost
  • OTIPKA, Petr a ŠMAJSTRLA. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA. [online]. Operační program Rozvoje lidských zdrojů. [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpast1/
  • NAVARA, Mirko. Pravděpodobnost a matematická statistika. In: [online]. Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a: Centrum strojového vnímán í katedra kybernetiky FEL ČVUT, 6.10. 2010 [cit. 2014-08-01]. Dostupné z: http://cmp.felk.cvut.cz/~navara/MVT/MVT_print.pdf