Hilbertův program

Autor: Lenka Machátová

Klíčová slova: Hilbertův program, matematika, věty o neúplnosti, Kurt Gödel

Synonyma: ---

Související pojmy:

nadřazené - věda

podřazené -

David Hilbert

David Hilbert se narodil 23. ledna 1862 v dnešním Znamensku ve Východním Prusku a ve světě vynikl jako jeden z nejvlivnějších matematiků devatenáctého a dvacátého století. Objevil a vyvinul širokou škálu základních myšlenek v mnoha oblastech matematiky. Mimo jiné také formuloval teorii Hilbertových prostorů, což je jeden ze základních pojmů funkcionální analýzy. Poté, co vystudoval gymnázium, začal studovat na univerzitě v Königsbergu, kde následně roku 1885 získal doktorát. Rok na to se na této univerzitě stal soukromým docentem, v následujících letech pak nejen profesorem, ale dokonce vedoucím katedry. V roce 1925 onemocněl a i přes to, že se po čase uzdravil, k tvořivé práci už se nevrátil. Zemřel 14. února 1943 v německém Göttingenu.

Historie

Názvem Hilbertův program je označována snaha Davida Hilberta formalizovat matematiku na úroveň jednoduchých tvrzení, ze kterých by se následně daly dokázat všechny matematické věty. Počátky tohoto pojmu najdeme na začátku dvacátého století. Tehdy se Hilbert začal soustavně zabývat prací v oblasti základů matematiky. To zapříčinilo, že se ve městě Göttingen kolem něj shromáždila skupina logiků. Dalo by se říci, že právě Hilbertův program byl jejich vědecko-výzkumným záměrem, ideové kořeny však musíme hledat o mnoho let dříve. Za klíčové momenty ve vývoji této metody je považováno již Aristotelovo dílo Druhé analytiky a Leibnizovy Reformy věd. Obě tato díla se zabývají představou, že jakékoli lidské poznání lze uspořádat do systému s relativně malým počtem výchozích tvrzení, která jsou brána jako pravdivá a nedokazují se, ale naopak jsou z nich dokazována všechna ostatní tvrzení. To se děje pomocí malého počtu pravidel zachovávajících pravdivost.

Hilbertův program

Hilbertův program lze shrnout do dvou bodů. Prvním bylo najít konečný systém tvrzení, ze kterého bychom byli schopni odvodit kompletní matematiku, druhým pak dokázat bezespornost tohoto systému tvrzení. Cílem tohoto programu bylo tedy zjednodušit složité matematické teorie na jednoduché formální systémy, které by se měly pak dále redukovat na jednoduchou aritmetiku a dokázat tak její úplnost. V prvním bodě programu vlastně můžeme najít důkaz úplnosti zvoleného systému tvrzení. Druhým bodem měla být zaručena pravdivost tvrzení, respektive celého systému matematiky, na což se soustředila hlavní pozornost. Tato bezespornost neměla být dokázána ponořením do jiné teorie (jako tomu bylo doposud s důkazy toho druhu), ale přímo ze samotných tvrzení tohoto systému, a to tak, že se srozumitelnými prostředky ukáže, že z tvrzení tohoto systému nelze odvodit spor. Jedním z cílů tudíž také bylo, aby důkaz nebyl relativní, ale přímý. Hilbert svoji myšlenky veřejně vyhlásil ve dvacátých letech dvacátého století, ale již několik let na to v roce 1931 přišel Kurt Gödel se svými větami o neúplnosti (známé jako První a Druhá věta o neúplnosti), jimiž dokázal, že pomocí aritmetiky nelze dokázat bezespornost a úplnost aritmetiky jako takové, a že jakákoliv teorie, kterou bychom mohli popsat všechny matematické pravdy, nemůže dokázat svou vlastní bezespornost a úplnost. Z toho tedy vyplývá, že Hilbertův program je neuskutečnitelný. Krátce po přijetí Gödelových výsledků (a na základě Gödelovy rady) Hilbert svůj program redukuje na program důkazů poměrné bezespornost. Matematika již nehledá přímé důkazy pro bezespornost, ale stejně jako tomu bylo dřív, hledá důkazy relativní. To znamená, že bezespornost systému se opět dokazuje ponořením daného systému do systému jiného.

Použitá literatura

NAGEL, Ernest, James Roy NEWMAN a Douglas R. HOFSTADTER. Gödelův důkaz. Vyd. 1. brož. Brno: VUTIUM, 2006, xxiii, 126 s. ISBN 80-214-3174-1.

REID, Constance. Hilbert. Vyd. 2., Springer, 1996, 228 s. ISBN 0387946748

DOSTÁLOVÁ Ludmila. Hilbertův program: proměna matematické praxe před a po Gödelových větách o neúplnosti. In: Jindřich Bečvář (editor); Martina Bečvářová (author): Mathematics throughout the ages. VI.(Czech), 2010 [cit. 2013-05-19]. Dostupný z WWW: <http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/401734/DejinyMat_45-2010-1_9.pdf >.